Простой способ вывести название меню которое указывается в административной панели
$theme_locations = get_nav_menu_locations(); // взяли все theme_location
$menu_obj = get_term( $theme_locations['имя локации'], 'nav_menu' ); // ищем нашу theme_location
$menu_name = $menu_obj->name; // получаем имя
И для вывода в нужном месте пишем
echo $menu_name